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高考物理1

1. 题目

一转动装置如图所示,四根轻杆OA、OC、AB和CB与两小球以及一小环通过铰链连接,轻杆长均为l,球和环的质量均为m,O端固定在竖直的轻质转轴上,套在转轴上的轻质弹簧连接在O与小环之间,原长为L,装置静止时,弹簧长为\frac{3L}{2},转动该装置并缓慢增大转速,小环缓慢上升。弹簧始终在弹性限度内,忽略一切摩擦和空气阻力,重力加速度为g,求: (1)弹簧的劲度系数k; (2)AB杆中弹力为零时,装置转动的角速度\omega; (3 )弹簧长度从\frac{3L}{2}缓慢缩短为\frac{L}{2}的过程中,外界对转动装置所做的功W。

figure1 图1

2. 答案

因为系统是轴向对称的,所以我们可以只分析左半边。如图2所示。定义夹角为\theta figure2 图2

(1)

弹簧的劲度系数k=\frac{F}{\Delta x},这里\Delta x=\frac{3L}{2}-L=\frac{L}{2}。F这里由B物体的受力分析确认。B的受力分析取决于AB间杆的力。由于是轻杆,力的方向只能是沿杆方向。要确认杆的拉力,我们需要分析A物体的受力情况。如图3所示。因为水平方向只有T_{BA}T_{AO}的水平分量,而这两个力与水平方向由相同的夹角\theta(BAAO等边都是l),所以T_{BA}=T_{AO}。因为

    \[T_{BA}\sin\theta+T_{AO}\sin\theta=2T_{BA}\sin\theta=mg\]

所以

    \[T_{BA}=\frac{mg}{2\sin\theta}\]

figure3 图3

我们此时对B物体做一个受力分析。在竖直方向上有四个力,向上的弹簧拉力k\frac{L}{2}和向下的几个力:重力mgT_{BA}\sin\thetaT_{AO}\sin\theta(此时杆对B的作用力与A相反,因为轻杆受力平衡)。由此我们可以得到

    \[k\frac{L}{2}=mg+T_{BA}\sin\theta+T_{AO}\sin\theta\]

由于对称,我们有

    \[k=2\frac{mg+2T_{BA}\sin\theta}{L}=2\frac{2mg}{L}=\frac{4mg}{L}\]

(2)

当AB杆中弹力为0时,B物体的受力情况发生了变化,只有弹簧力平衡了重力,弹簧需要在新的位置平衡,那么\theta角度也会相应变化。我们需要求解出新的\theta角。新的平衡位置在k\Delta x=mg,带入(1)问中的k,我们得到新的\Delta x=\frac{L}{4},总长是\frac{5}{4}L。所以由图2的几何关系得到

    \[\sin\theta=\frac{5L}{8l}\]

另一方面,我们对A分析受力平衡。 figure4 图4 由于离心力的作用,A小球的受力情况如图4。可以得出

    \[\frac{F_{C}}{mg}=\cot\theta\]

由离心力公式和图1的几何关系得到

    \[F_{C}=m\omega^{2}r=m\omega^{2}l\cos\theta\]

带入前式,我们得到

    \[\frac{m\omega^{2}l\cos\theta}{mg}=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\]

此时转速为

    \[\omega=\sqrt{\frac{g}{l\sin\theta}}\]

带入我们刚刚由几何关系的得到的\sin\theta=\frac{5L}{8l},我们得到

    \[\omega=\sqrt{\frac{8g}{5L}}\]

(3)

当弹簧长度缩短为\frac{L}{2}时,我们需要先确定\theta的取值。

    \[\sin\theta=\frac{L}{4l}\]

此时的其它


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